抽象向量空间-总结

向量只是线性变换的载体,矩阵只是用来描述线性变换

用坐标来描述向量依赖于你所选的基向量(basis vectors)

行列式、特征向量,不受所选坐标系影响

从上我们可以得出,自由选择坐标系不会改变它们最根本的值

一个向量可以为基向量以某种方式进行线性组合,所以求一个向量变换后的结果,即求基向量线性变换后以相同方式组合的结果



线性定义

2个因素 1.可加性   2.成比例

1.可加性,v和w相加然后应用线性变换,得到的结果跟先让v和w应用线性变换,然后相加的值一样

2.成比例,将向量v与某个数相乘,然后应用线性变换,得到的结果与v先应用线性变换,然后与这个数相乘一致


函数

函数也可以看成是另一种向量

两个函数可以相加称为一个新函数(f+g)(x) == f(x) + g(x)

实数和函数相乘,(2f)(x) = 2f(x)

向量所能的操作是相加和数乘两种

函数也可以应用变换,比如接收一个函数,输出另外一个函数比如微积分的导数


函数也可以满足线性定义,比如两个函数相加再求导数等同于分别对两个函数求导然后相加


一个函数先于实数相乘然后求导等同于先对函数求导再相乘



一些类似向量的事物,比如箭头、一组数、函数等,它们构成的集合被称为 "向量空间(vector spaces)"

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