特征向量-特征值

特征向量(eigenvector)，向量在经过矩阵的线性变换后，方向没有改变(也就是最多被拉伸或者压缩)，我们称这些向量为该矩阵的特征向量

这些特征向量相对于原来向量的缩放比例即为特征值(eigenvalue)，特征值可以为负

比如三维空间的旋转，如果能找到特征向量，其实就是基于该特征向量旋转，并且特征值为1，因为向量大小没有改变

如下图这个矩阵，基于它线性变换后，黄线和绿线方向没有变，只是被拉伸了，所以该线性变换的特征向量分别为绿线上的向量(特征值为3)，黄线上的向量(特征值为2)

利用对角矩阵特性计算如下矩阵的100次幂

可以先变换到特征基(这样该矩阵就可以当做对角矩阵)，在那个坐标系中计算100次幂

然后转回到标准坐标系

当然，不是所有的变换都能进行这一过程，不如说剪切变换，它的特征向量不够多，不能张成全空间，但是如果能找到一组特征基，矩阵运算就会变得非常轻松

除了对角元以外，其他元素均为0的矩阵被称为对角矩阵(diagonal matrix)

所有的基向量都为特征向量，矩阵的对角元是它们的特征值

对角矩阵与自己多次相乘很容易计算

如果尝试计算一个非对角矩阵的100次幂，那么简直是噩梦

基向量同时也是特征向量，一般没那么幸运，但是如果你的变换有许多特征向量，多到可以张成全空间集合，那么你就可以变换你的坐标系，使得这些特征向量就是基向量(基变换)