特征向量-特征值

特征向量(eigenvector),向量在经过矩阵的线性变换后,方向没有改变(也就是最多被拉伸或者压缩),我们称这些向量为该矩阵的特征向量

这些特征向量相对于原来向量的缩放比例即为特征值(eigenvalue),特征值可以为负

比如三维空间的旋转,如果能找到特征向量,其实就是基于该特征向量旋转,并且特征值为1,因为向量大小没有改变


如下图这个矩阵,基于它线性变换后,黄线和绿线方向没有变,只是被拉伸了,所以该线性变换的特征向量分别为绿线上的向量(特征值为3),黄线上的向量(特征值为2)


利用对角矩阵特性计算如下矩阵的100次幂


可以先变换到特征基(这样该矩阵就可以当做对角矩阵),在那个坐标系中计算100次幂


然后转回到标准坐标系


当然,不是所有的变换都能进行这一过程,不如说剪切变换,它的特征向量不够多,不能张成全空间,但是如果能找到一组特征基,矩阵运算就会变得非常轻松


对角矩阵(diagonal matrix)  

除了对角元以外,其他元素均为0的矩阵被称为对角矩阵(diagonal matrix)


所有的基向量都为特征向量,矩阵的对角元是它们的特征值

对角矩阵与自己多次相乘很容易计算



如果尝试计算一个非对角矩阵的100次幂,那么简直是噩梦

基向量同时也是特征向量,一般没那么幸运,但是如果你的变换有许多特征向量,多到可以张成全空间集合,那么你就可以变换你的坐标系,使得这些特征向量就是基向量(基变换)


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