基变换

基变换(Change of basis),任一向量在指定基下的坐标是唯一的,但在不同基下的坐标一般是不同的

比如我们平常默认所说的向量都是基于基 (1,0) (0,1)

注意,空间中本没有啥坐标系,坐标系只是为了让我们描述方便,即空间中的一个点,在我们的眼里,可以说它的坐标为(1,1),而在另一个人眼里,它的坐标为(2,2),因为我们看的角度不同,选用的参照物不同,就可能得出不同的表示方法,但是那个点位置是确定的,就在空间的那个位置。


比如詹妮弗坐标是基于 (2,1) (-1,1),那么其坐标系看起来是由 (1,0) (0,1) 经过线性变换得到


上图就是詹妮弗的坐标系,上图的绿红线也可以说成是基向量(1,0) (0,1),但是是基于詹妮弗的语言

如果我们又想复原,只要求出该矩阵的逆矩阵再应用线性变换即可


如果我们想知道 (3,2) 在詹妮弗的坐标系下如何表示,只要将该向量乘以逆矩阵即可



比如向量(-1,2) 是用詹妮弗语言表示


利用基变换转化为我们的语言,结果即为用我们的坐标系表示那个向量


然后应用线性变换,即左边旋转90度,还是用的是我们的语言


然后再应用基变换矩阵的逆,得到是用詹妮弗语言表示的向量


总结下步骤:

1.应用基变换

2.应用线性变换

3.最后应用基变换的逆

这三个矩阵的复合给出的就是用詹妮弗语言描述的线性变换矩阵

到这里我们发现,这个变换矩阵根本没变,因为矩阵只是描述线性变换,跟用的是哪个语言没关

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