点积与叉积

点积也叫内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作

点积可以理解为将一个多维向量应用线性变换后映射到一维的轴上，所以点积的结果为标量

两个维数相同的向量的点积的公式

下面是点积在几何上的表现

从图可以看出，如果两个向量是垂直的即向量正交，那么点积为0，如果两个夹角大于90度即投影为负，那么点积为负数

点积也可以是 len(v) * len(w) * cos(夹角)

假设w . v，对称性的意思是无论是v在w上作投影再乘，还是w在v上作投影再乘，结果都是一样的

如图，假设二者长度相同，那么对称性显然成立：因为投影长度是一样的。

现在，假设w更长。我们在w的方向上取 w′，使得 |w′| 等于 |v|。我们先考虑w′ . v，由于长度相同所以对称，此时把 w-w' 的长度接到v上的结果是一样的。

1 x 2 矩阵和二维向量之间存在关系，一个 1 x 2矩阵表示的是某个线性变换，能够将二维的向量变换成一维的数字

[1,-2] 代表一个线性变换，可以理解为向量i经过转换后变为 1，向量 j 经过转换后变为 -2

所以如果要跟踪向量应用上面变换后的去向，可以将这个向量分解为 4i + 3j，由于线性变换，所以这个向量为如下图，即值为 -2

感觉上和两个向量的点积是一样的

我们假设在二维平面上有一条直线，将二维向量都投射(projection)到该直线数轴上，其实就相当于定义了一个从二维到一维的线性变换，可以用矩阵V [xx,xx] 来表示

我们如果要求得这个线性变换矩阵V，只要求出基向量i和基向量j应用该线性变换后的值即可。

这里我们先假设u为单位向量，刚好在这条直线上

由于对称关系，我们可以求出，i在投影值为ux，j的投影值为uy，即求出i,j投影到单位向量上的线性变换为 [ux,uy]

空间中任意向量经过该投影的变换结果跟点积的计算是一样的

由线性关系可以推出，当u不是单位向量，比如3倍大小的 u'，即 i,j投影到u'向量上的线性变换为 [3ux,3uy]

那么空间中的任意向量投影到该直线后的长度要乘以3，其实就是投影长度 * u'的长度，这就是点积为投影的长度 * 被投影向量的长度的由来

1.两个向量的点乘就是将其中一个向量转化为线性变化

2.在任何时候你看到一个线性变换，它的输出空间为一维数轴，无论它是如何定义的，空间中必定存在一个唯一向量与之对应，所以应用该变换与跟这个向量做点积是一样的

3.它就是数学中对偶性(duality)的一个实例

两个向量的叉积(cross product)(也叫外积、叉乘)是一个向量，它的方向与两个向量组成的平面垂直，长度为两个向量组成的平行四边形的面积。

两个向量叉积的方向可以遵循右手法则

计算两个向量的叉积的数值，其实就是计算图中的行列式(其中 i(1,0,0) j(0,1,0) k(0,0,1))，下图行列式求得是体积，由于第一个向量，它组成的是一个高度为1的平行六面体，其实就是后面2个向量组成的面积，而方向可以通过右手法则得出。

肯定存在一个函数，接收一个三维向量 (x,y,z)，输出到一维数轴上(值为图中2个向量组成的平行六面体的体积)，这个函数是线性的(证明略)

因为是线性的，我们可以引进对偶性，即可以通过线性转换方式得到

可以将其看成是点积

这里用向量P表示

这里我们要求得是向量p，使得p跟任意向量(x,y,z)的点乘 = (x,y,z)跟 v w 向量的行列式(即体积)，那么什么样的向量p才满足呢

我们知道，(x,y,z) 在垂直于 v w 组成的平面的直线上(红色)的分量(灰色)乘以 v w 组成的平面面积即为平行六面体的体积

这和垂直于 v w 组成的平面的直线和 (x,y,z) 的点乘是同一回事

所以 P 为垂直于 v w 组成的平面的直线且长度为 v w 组成的平面面积，即红线，长度为底部面积

这就是为啥说叉积的计算过程与几何解释有关联