逆矩阵-秩-列空间

假设矩阵A,向量 v,当 v 经过 A 线性变换后得到 v',而 v' 经过 A' 线性变换后为原来的 v,那么 A' 即为 A 的逆矩阵(inverse matrix)

而 (vA)A' = v(AA') = v,从这里我们可以得出,AA' 两个矩阵相乘为一个单位矩阵(即左上角到右下角对角线上都为1,其他未0)

如果一个矩阵的行列式为0,那么该矩阵没有逆矩阵,因为我们知道,如果行列式为0,表明该矩阵对向量进行变换后会降低维度,降维后无法再还原。


当经过矩阵的线性变换后,变为一条直线,即结果为一维的,我们称该变换的秩为1

当经过矩阵的线性变换后,变为某个二维平面,即结果为二维的,我们称该变换的秩为2  

所以秩(rank)就是代表变换后空间的维数

比如

1.一个 2x2 的矩阵,它的秩最大为2

2.如果一个 3x3 的矩阵的秩为2,意味着空间被压缩了


不管是一条直线、一个平面还是三维空间等,矩阵所有可能变换的结果的集合称为矩阵的 列空间(column space)

矩阵的列就是 基向量 变换后的位置,这些变换后的基向量张成的空间就是所有可能的变换结果,换句话说,列空间就是矩阵的列所张成的空间

所以更精确的 秩(rank) 的定义是列空间的维数,当秩达到最大值时,秩和列数相等,我们称之为满秩(full rank)

0向量肯定会被包含在列空间,因为线性变换保持原点不动

对一个非满秩的矩阵来说,变换后由于维度降低,那么将有很多向量变成0向量,比如一个平面被压缩成一条直线,那么所有所有跟该条直线不同方向的向量都变成了0向量

变换后落在原点的向量集合称为矩阵的 零空间(null space) 或者 核(kernel)

比如如下现象方程组,A为矩阵,x v为向量

Ax = v

假设 v 为零向量,那么矩阵A的零空间给出的就是该方程的所有可能的解

如下是 线性方程组跟矩阵乘法的对应关系

无非就是就向量x经过线性变换后跟v重合,方程的解依赖于矩阵A所代表的变换,该变换可以保持原来的维度,也可以压缩成一维,分为两种情况

1.A的行列式为0

2.A的行列式不为0

这里不讨论如何求解


上一篇: 行列式
下一篇: 非方阵(行列不同)
作者邮箱: 203328517@qq.com