行列式

行列式(determinant)，在二维平面里，行列式的绝对值就是面积增大的倍数，在三维平面里就是体积增大的倍数。

行列式可以描述矩阵对向量变换的强弱

假设基向量i(绿色) 和 基向量j(橘红色) 如下图，方格的面积为 1*1=1，那么经过矩阵的线性变换后的面积就是该矩阵的行列式

下面是经过变换后的，可以看到，变换后的面积即为行列式的值

如果经过变换，i和j在一条直线上，那么行列式为0

如果一个矩阵的行列式为0(即变换后面积为0)那么该矩阵的线性变换可以将空间压缩到更小的维度上

那么什么时候是负数呢，在二维平面上，即变换后，平面被翻过来了，即改变了空间的方向。

行列式为负数，一般变换后，基向量i和基向量的左右的位置也变了，当他们重合时，行列式为0，如下图

在三维空间里，行列式的值就是体积缩放的倍数，我们也假设初始体积为1*1*1，那么变换后的体积即为矩阵的行列式的值

行列式为0就代表整个空间被压缩为一个平面、或者是直线、更甚至是一个点

下面是行列式的计算公式

可以分开解释，当只有a和d时，他们就是x轴y轴的伸缩比例，得到的是一个矩形面积

此时加入b，那么如下图

加入c自己想象，下面是总体的公式

下面是三维矩阵行列式的计算公式，如果空间被反转了，那么为负数

判断行列式是否为负数可以采用右手，假设变换前可以用右手表示，那么如果变换后还可以用右手表示，那么为正，如果需要用左手表示，那么为负

参考：

https://www.bilibili.com/video/av6731067?p=7