矩阵-线性变换

线性变换(linear transformation),其实也可以理解成函数处理,该函数接收一个向量,经过处理后输出另一个向量。

在空间里,一个向量可以通过移动得到另一个向量

线性变换可以理解为原始的时候在xy坐标系中,是一个个正方形表格,通过线性变换后,这些表格线还是保持平行的且等距分布。

矩阵(matrix)代表一个特定的线性变换,矩阵跟向量的乘积就是将线性变换作用于这个向量

矩阵能够对向量进行加工,产生一个新的向量。但有一种矩阵比较特殊,无论给它输入什么样的向量,加工后产生的向量都与原来的相同,这种矩阵叫 单位矩阵(unit matrix)

既然矩阵对向量的加工作用是通过改变基向量来实现的,如果想保持输入与输出相等,那么只需要保证矩阵不会改变基向量即可。

{1 0}
{0 1}

{1 0 0}
{0 1 0}
{0 0 1}

...



假设如下图

逆时针旋转90度得到

那么假设旋转之前,黄线的向量为h[x,y]是这样的

那么向量h乘以这个矩阵就是跟着它旋转

下图是向量和乘法的公式乘法的公式

从上一节的 基向量 定义我们知道 v = ai + bj,其实就是基向量i变为[a,c],基向量j变为[b,d]

其实就是基向量[a,c]伸缩x倍 + 基向量[b,d]伸缩y倍


矩阵跟矩阵相乘

讨论之前我们看上图,一个向量乘以一个矩阵得到一个向量,再乘以一个矩阵又得到一个向量,其实就是一个向量乘以两个矩阵复合之后的矩阵,其实这个复合矩阵就是之前两个矩阵之积

其实两个矩阵相乘,就是两个线性变换相继作用,也就是先通过一个矩阵进行线性变换,转换后再通过另外一个矩阵进行线性变换(注意:是从左到右变换),即 M1M2 ≠ M2M1

矩阵支持结合性,即 (AB)C = A(BC)

公式如下图


只要理解了二维的理论,那么其他的三维甚至多维原理都是一样的,下面是三维矩阵和向量的乘法公式

三维矩阵相乘仿照二维矩阵相乘公式即可


参考:

https://www.bilibili.com/video/av6731067/?p=1

https://www.zhihu.com/question/20534668

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