向量

向量(也叫矢量)(vector),具有大小和方向的量。向量可以理解为是空间中的箭头。

箭头所指:代表向量的方向;

线段长度:代表向量的大小。

与向量对应的量叫标量(scalar),只有大小,没有方向


基向量(basis vectors)

我们可以认为任何向量都是由2个基向量通过伸缩得到的,比如 向量v[-5,2] 可以由 基向量i[1,0] 向左伸缩5倍,基向量j[0,1]向上伸缩2倍得到

即 v = ai + bj = -5i + 2j

我们可以选择不同的基向量来获取一个合理的不同的坐标系

要注意一点,每当我们用数字描述一个向量时,都是基于基向量的


向量表示

线性代数(linear algebra)里,向量是从x轴和y轴的交叉点开始。

为了与点的坐标表示区分开,向量表示一般由中括号包含上下数字如下图

向量加法

比如向量v+向量w,即向量w基于向量v移动得到

向量乘法

一个向量乘以一个标量,可以理解为箭头的伸缩


一般来说,当你只要考虑一个向量时,可以用箭头表示,但是当你要考虑很多向量时,可以用点来表示。即考虑所有向量就可以表示为考虑平面上所有的点


二维空间,向量v与向量W的线性组合为 av + bw,其中a b为标量,其实就是 箭头v伸缩后的箭头 + 箭头w伸缩后的箭头,大多数情况下伸缩后的2个向量可以组成任何一个向量

下面是特殊情况

1.当向量v和向量w方向相同时,它们会被固定在一条直线上

2.当其中有一个向量为0向量或者都为0向量时,它们会被固定在直线上或者原点处

av = bw - 线性相关(在一条直线上)

av ≠ bw - 线性无关(2个向量组成了整个平面)


三维空间,2个向量(不为0向量)可以组成过原点的一个平面,3个向量的线性组合 av + bw + cu 即对3个箭头分别进行缩放然后相加,可以得到所有的三维向量

这里有2中特殊情况

1.当第3个向量刚好落在前2个向量所张成的平面上,那么这3个向量的线性组合还是会被困在该平面上

2.其中2个向量在一条直线上,其实是情况1的特殊情况


二维空间,固定一个向量,其他1个向量自由移动,得到一条直线。

三维空间,固定一个向量,其他2个向量自由移动,得到一个平面


线性相关

当3个向量v w u 满足以下等式(其中a b c为标量,并且不全为0)   av + bw + cu = 0,那么我们称向量 v w u是 线性相关

只有当 a=0 b=0 c=0时才成立,那么我们称向量 v w u是 线性无关,(即其中一个向量不能通过另外的向量通过伸缩相加得到)

其实就是当3个向量通过伸缩后只能表示一个平面即为线性相关,能组合成整个三维空间,那么就是线性无关

即n个向量可以组成n维空间的,我们称这n个向量是线性无关,即没有多余的向量,每个向量都贡献了一维,如果存在多余向量,那就是线性相关


参考:

https://www.bilibili.com/video/av6731067/?p=1


上一篇: 无
下一篇: 矩阵-线性变换
作者邮箱: 203328517@qq.com